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“大家看，四个三角形的斜边正好构成一个正方形，这个面积就是斜边的平方，”沈方将四个三角形两两对应，形成两个长方形，并用这两个长方形，在大正方形里围成一大一小两个正方形，“大家看，这两个小正方形正好各是两条直角边平方。”
这个方法直观明确，比刚才沈括介绍的青朱出入图更容易理解，孩子们一下便看明白了，就连沈披、沈括也赞叹道，“果然巧妙，值一百头公牛。”
“上面两个是几何图形证明法，我再给大家介绍两个计算推理方法。”
沈方在刚才毕氏证明方法的图之上，标清a、b、c，其中a、b是直角边，c是斜边。
“这个大正方形的面积等于（a+b）的平方，同时也等于四块小三角形加中间小正方形的平方。三角形的面积公式刚才讲了是a乘b除以2，那么大家看这个方程式。”
沈方在黑板上写下：
1\/2（a*b）*4+c^2=（a+b）^2
2ab+c^2=a^2+2ab+b^2
最后沈方将等式两边的2ab划掉，说道，“把两边的2ab删掉，正好得到两边长的平方之和等于斜边的平方。”
沈披和沈括看得很清楚，包括其中的计算过程也非常简单，他们竟然看呆了，孩子们也发出惊叹声，“这么简单！？”
“发明这个证明方法的人后来成了一个国家的国王，他的名字叫加菲尔德，也是很远地方的外国人。”
“还有一个方法吗？！”沈括有些急切得问道。
“最后再讲一个方法，也很巧妙，发明这个方法的是一个十二岁的外国少年，名字叫爱因斯坦。”沈方没有提加菲尔德和爱因斯坦的年代，也没有办法提，只好让孩子们认为同样是古人。
沈方在黑板上面画了一个大点的直角三角形，并将两条直角边标上a、b，将斜边标上c。然后将每条边对应的顶点，标上大写的Abc，然后从c点，向Ab边画了一条垂线，与Ab边相交，交点标明为d点。
“从直角的这个点，c点向斜边画一条垂线，这时形成两个小三角形，三角形Acd和三角形bcd，这两个三角形和三角形Abc是相似三角形。根据相似三角形的性质，不同相似三角形各边的比例相同，可以得到以下公式。”
沈方在黑板上写下：
Ab\/Ac=Ac\/Ad
Ab\/bc=bc\/bd
Ac^2=Ab*Ad
bc^2=Ab*bd
Ac^2+bc^2=Ab*Ad+Ab*bd=Ab*(Ad+bd)=Ab^2
“Ac和bc分别是两条直角边b和a，Ab是斜边c，两边长的平方之和等于斜边的平方。“
虽然这个证明方法比加菲尔德证明方法稍难一点，但是只要认真看清楚线段之间的对应关系，还是很容易就理解了，这个证明方法只添加了一条垂线，便用纯代数的方法证明了勾股定理，让沈括、沈披两人对爱因斯坦这个小孩子产生了兴趣。